14. 不修改数组找出重复的数字

问题描述

给定一个长度为 n+1n+1 的数组nums，数组中所有的数均在 1∼n1∼n 的范围内，其中 n≥1n≥1。

请找出数组中任意一个重复的数，但不能修改输入的数组。

样例

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。

返回 2 或 3。

思考题：如果只能使用 O(1)O(1) 的额外空间，该怎么做呢？

解决方案：

(分治，抽屉原理)
这道题目主要应用了抽屉原理和分治的思想。

抽屉原理：n+1 个苹果放在 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放两个苹果。

用在这个题目中就是，一共有 n+1 个数，每个数的取值范围是1到n，所以至少会有一个数出现两次。

然后我们采用分治的思想，将每个数的取值的区间[1, n]划分成[1, n/2]和[n/2+1, n]两个子区间，然后分别统计两个区间中数的个数。
注意这里的区间是指 数的取值范围，而不是 数组下标。

划分之后，左右两个区间里一定至少存在一个区间，区间中数的个数大于区间长度。
这个可以用反证法来说明：如果两个区间中数的个数都小于等于区间长度，那么整个区间中数的个数就小于等于n，和有n+1个数矛盾。

因此我们可以把问题划归到左右两个子区间中的一个，而且由于区间中数的个数大于区间长度，根据抽屉原理，在这个子区间中一定存在某个数出现了两次。

依次类推，每次我们可以把区间长度缩小一半，直到区间长度为1时，我们就找到了答案。

复杂度分析

• 时间复杂度：每次会将区间长度缩小一半，一共会缩小 O(logn)O(logn) 次。每次统计两个子区间中的数时需要遍历整个数组，时间复杂度是 O(n)O(n)。所以总时间复杂度是 O(nlogn)
• 空间复杂度：代码中没有用到额外的数组，所以额外的空间复杂度是 O(1)。

python实现：

class Solution(object):
    def duplicateInArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype int
        """
        m = len(nums)
        startN = 1  # 列表数值范围最小值
        endN = m  # 列表数值范围最大值

        while startN <= endN:
            # midN = (startN+endN) >> 1  # 二分法中间值
            midN = (startN+endN) // 2
            numbers = 0
            for i in range(m):
                if (nums[i] <= midN) & (nums[i] >= startN):
                    numbers += 1
            # 关键(midN - startN+1)，如果没有重复元素，startN与midN范围间相差的数字个数
            if numbers > (midN - startN+1):
                startN, endN = startN, midN
            else:
                startN, endN = midN+1, endN
            if startN == endN:  # 最后判断数组出现的次数
                number = 0
                for j in nums:
                    if j == startN:
                        number += 1
                if number > 1:
                    return startN
                else:
                    break
        return False


def test_dup():
    a = Solution()
    assert a.duplicateInArray(nums=[1, 2, 2, 3, 4]) == 2

参考资料：

yxc https://www.acwing.com/solution/acwing/content/693/